Exemple de fonction

discontinue en tout point de Q, continue en tout point de R \ Q

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On considère la fonction f définie sur R par:

    • si x Î Q tel que x=p/q avec (p,q) Î ZxN* et p/q irréductible, alors f(x) = 1/q

    • si x Î R \ Q , f(x) = 0

 

  1. 1- Etude de la continuité de f en un point de Q

    Soit x0 = p/q un point de Q ( avec (p,q) Î ZxN* et p/q irréductible).

    En prenant e < 1/q, pour tout a > 0, il existe un x irrationnel dans ]x0 -a , x0 + a [ tel que |f(x) - f(x0)|=|0- 1/q| = 1/q > e .

    La phrase:

    $ e >0, " a >0, $ xÎ ]x0 -a , x0 + a [ , |f(x) - f(x0)| ³ e est donc vraie.

    Cela signifie que f n'est pas continue en ce point x0.

    Conclusion: En tout point de Q, f n'est pas continue.

     

  2. 2- Etude de la continuité de f en un point de R \ Q.

 

Soit x0 Î R \ Q. Considérons un e > 0 quelconque. Il n'existe alors q'un nombre fini d'entiers q dans l'intervalle ]0, 1/e ].

Ainsi l'intervalle [x0 -1, x0 +1] ne contient qu'un nombre fini de rationnels dont la forme irréductible est de dénominateur q Î ]0, 1/e ].


Graphe de f sur l'intervalle [x0 -1, x0 +1]

avec x0=sqrt(2)/2 (en bleu)

Seuls figurent les points (p/q, 1/q) tels que:

    • q £ 1/e =5
    • p/q Î [x0 -1, x0 +1]

Sur l'axe des x, on voit les abscisses p/q de ces points


On peut alors trouver un d >0 tel que l'intervalle ]x0 - d , x0 + d [ ne contienne que des rationnels dont la forme irréductible ait un dénominateur q > 1/e .

Pour tout x Î ]x0 - d , x0 + d [, qu'il soit dans Q ou non, on a:

| f(x) -f(x0) | = | f(x) - 0 | = | f(x) | < e .

Ce qui montre que f est continue en ce point x0.

Conclusion: f est continue en tout point de R \ Q.

 

Remarque: On peut montrer (si on aime les complications inutiles...)que f est continue en tout point de R\Q en utilisant la proposition et le théorème suivants:

<<Proposition : Si une suite de rationnels positifs (pn/qn) converge vers un nombre x0 irrationnel, alors les suites (pn) et (qn) divergent vers +¥ >>,

<<Théorème (la réciproque n'est pas au programme de Sup PCSI):

Pour que la fonction numérique f définie sur l'intervalle I admette une limite L en x0 (x0 dans I ou extrémité de I), il faut et il suffit que : pour toute suite (xn) d'éléments de I de limite x0, la suite (f(xn)) ait pour limite L.>>

En effet…

 

 

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