David Hilbert 1862-1943

Georg Cantor 1845-1918

FRACTALES

Felix Hausdorf 1868-1942

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Notion de dimension d'auto-similarité

Dans un carré, on peut inscrire 4 carrés : on dit que le facteur d'auto-similarité est a=4. La longueur du côté des carrés intérieurs est obtenue en multipliant par le facteur k=1/2 la longueur du côté du carré initial On constate qu'on a la relation a=1/kD avec D=2. On peut tout aussi bien inscrire 9 carrés. Le facteur d'auto-similarité est alors a=9. La longueur du côté des carrés intérieurs est obtenue en multipliant par le facteur k=1/3 la longueur du côté du carré initial On constate qu'on a toujours la relation a=1/kD avec D=2. On dit que le carré est un objet de dimension 2.

Dans un cube, on peut inscrire par exemple 8 (ou 27,etc...) cubes: le facteur d'auto-similarité est alors a=8 (ou 27,etc...). La longueur du côté des cubes intérieurs est obtenue en multipliant par le facteur k=1/2 (ou 1/3,etc...) la longueur du côté du cube initial. On constate que, quel que soit le cas, on a la relation a=1/kD avec D=3. Ainsi, on dira que le cube est un objet de dimension 3.

Dans la courbe de Von Koch, on peut inscrire la courbe elle-même 4 fois: le facteur d'autosimilarité est a=4 alors que la longueur de la base du motif a été multipliée par le facteur d'échelle k=1/3. On consate qu'on a la relation a=1/kD avec D=log(a)/log(1/k)=1.2619. On dit alors que la courbe de Von Koch est de dimension D=1.2619.

Définition:

La dimension d'auto-similarité est définie par : D=log(a)/log(1/k) où a est le facteur d'auto-similarité et k le facteur d'échelle.