Soit nÎ N*. Considérons la fonction:
f est une fonction dérivable sur [0,1] et on a:
Sur l'intervalle [0,1], la fonction f' est bornée:
e est un nombre irrationnel
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Soit nÎ N*. Considérons la fonction:
f est une fonction dérivable sur [0,1] et on a:
Sur l'intervalle [0,1], la fonction f' est bornée:
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En appliquant l'inégalité des accroissements finis à f entre 0 et 1, on en déduit que:
ce qui montre que:
Finalement :
On considère les suites (un) et (vn) définies par:
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, la suite (un) est donc strictement croissante.
,la suite (vn) est donc strictement décroissante.
, donc 
.
On en conclut que les suites (un) et (vn) sont adjacentes et donc convergentes vers une même limite. Cette limite commune n'est autre que le nombre e (voir1°).
Montrons que e ne peut être rationnel.
Si on avait e=p/q, avec p et q des entiers, on aurait en particulier:
.
En multipliant par q.q!, on obtiendrait une double inégalité du genre:
où N est un entier, ce qui est manifestement impossible.
On en conclut que
e est un nombre irrationnel.
