Etant donnés n points distincts x₀, x_1, ….,x_n d'un intervalle fermé borné [a,b] de R, et une fonction f définie sur [a,b] à valeurs dans R, on cherche un polynôme P tel que P(x_i) = f(x_i) pour i = 0, 1, ….,n.

Démonstration: Les polynômes L_i(X) sont de degré n et ils vérifient:

.

De plus, les polynômes L_i sont linéairement indépendants en tant que vecteurs de R_n[X].

En effet: étant donnés n+1 scalaires l ₀, l _1, ……, l _n tels que l ₀L₀ + l ₁L₁ + ……+ l _nL_n = 0, pour k =0, 1, …., n, on a:

l ₀L₀(x_k) + l ₁L₁(x_k) + ……+ l _nL_n(x_k) = 0,

d'où l _k = 0 pour k =0, 1, …., n.

Comme R_n[X] est de dimension n+1, les (n+1) polynômes L_i constituent donc une base de R_n[X].

S'il existe un polynôme P de degré £ n, vérifiant P(x_i) = f(x_i) pour i = 0, 1,…..,n , il s'écrit comme combinaison linéaire des L_i:

et on a nécessairement : a _i = f(x_i) pour i = 0, 1,…..,n.

Le polynôme

répond donc à la question et c'est le seul.

Voici quelques exemples. N'hésitez pas à utiliser les programmes P0 à P4 du GCcompiler .