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INTERPOLATION de LAGRANGE
Polynômes de Tchebychev
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Introduction
Soit x Î [-1 , +1]. Posons a = Arccos(x). On a a Î [0 , p ]. Alors, pour n Î N,on a:
.
En comparant les parties réelles des deux extrémités de cette chaîne d'égalités, on en déduit
On pose alors la définition suivante:
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Définition : |
Soit n Î N. On appelle fonction polynomiale de Tchebychev de degré n, l'application:
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A chaque fonction polynômiale Tn, correspond un polynôme qu'on appelle polynôme de Tchebychev de degré n et qu'on note aussi Tn.
Voici la liste des premiers polynômes de Tchebychev qu'on peut facilement obtenir avec Maple V:
> with(orthopoly):
> for n from 0 to 6 do T(n,X) od;
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T0 = 1 T1 = X |
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T2 = 2X2 -1 |
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T3 = 4X3 -3X T4 = 8X4 - 8X2 + 1 |
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T5 = 16X5 -20X3 + 5X |
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T6 = 32X6 -48X4 +18X2 -1 |
Quelques propriétés
Les Polynômes de Tchebychev vérifient une relation de récurrence très simple:
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Proposition 1 : |
Et pour tout n Î N, on a:
Tn est de degré n. Pour n>0, le coefficient du terme de plus haut degré de Tn est : 2n-1 |
Démonstration:
Immédiat pour T0 et T1.
Soit x Î [-1 , +1]. Posons a = Arccos(x). On a a Î [0 , p ]. Alors, pour n Î N,on a:
cos(n+2)a = cos(n+1)a . cos a - sin(n+1)a . sin a
cos na = cos(n+1)a . cos a + sin(n+1)a . sin a
En faisant la somme membre à membre de ces deux égalités, on obtient:
cos(n+2)a + cos na = 2. cos(n+1)a . cos a .
On en déduit que pour tout x Î [-1 , +1] :
Tn+2(x) + Tn(x) = 2x.Tn+1(x).
On conclut avec l'égalité de polynômes:
Tn+2 + Tn = 2X.Tn+1.
On déduit par une récurrence immédiate que le coefficient du terme de degré n de Tn est 2n-1 puisque T0 = 1 et T1=X.
Les Polynômes de Tchebychev constituent une famille orthogonale:
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Proposition 2 : |
La famille des polynômes de Tchebychev est orthogonale relativement à la fonction poids
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Voici quelques graphiques des fonctions polynomiales de Tchebychev :
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T4 |
T7 |
T12 |
Utilisez les programme P6:Récurrence et P9:cos(nArccos(x)) du GCcompiler. Donnez à n différentes valeurs.
Vous constatez que les zéros d'un polynôme de Tchebychev sont plus nombreux aux bords de l'intervalle [-1, +1] plutôt qu'en son centre.
En effet, à l'aide du programme P10, vous pourrez remarquer que les polynômes de Tchebychev sont les projections d'une sinusoïde enroulée sur un cylindre.
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T12 |
Examinons maintenant les zéros d'un polynôme de Tchebychev .
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