INTERPOLATION de LAGRANGE

Zéros des polynômes de Tchebychev

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Théorème :

Soit n Î N^*.

Le polynôme de Tchebychev T_n, de degré n, admet n zéros simples:

La fonction polynomiale T_n admet sur l'intervalle [-1, +1] des extrema locaux aux (n+1) points:

En chacun de ces points, elle prend la valeur -1 ou +1; plus précisément: (-1)^k.

démonstration:

1) Soit n Î N^*. Pour k = 0, 1, ….., (n-1), on a:

Or T_n, étant de degré n, admet au plus n zéros. Les x_ksont donc les seuls zéros de T_{n .}

2) Soit n Î N^*. Pour x Î ]-1, +1[, on a:

Pour k = 1, 2 ….., n-1, on a:

Pour k = 1, 2 ….., n-1, on a aussi:

Restent les extrémités -1 et +1:


Zéros de T₆	Extrema de T₆

Utilisez les programmes P7 et P8 du GCcompiler pour visualiser les zéros et les extrema de T_n (n'hésitez pas à changer la valeur de n).