Etant donnés n+1 points distincts x₀ < x₁ < ….< x_n d'un intervalle fermé borné [a,b] de R, une fonction f définie sur [a,b] à valeurs dans R, et P le polynôme d'interpolation de Lagrange de f:

on cherche à évaluer la différence f(x) - P(x).

Démonstration:

Pour x = x_i , on a f(x) - P(x) = 0. La relation (2) est alors vérifiée.

Pour x distinct de tous les x_i (i = 0, 1, ….., n), on définit la quantité F (x) par :

Considérons la fonction g_x définie sur [a,b] par:

g_x est une fonction de t; elle dépend du paramètre x; elle est de classe C ⁿ⁺¹.

La fonction g_x s'annule au (n+2) points x₀, x₁, ….., x_n, x de l'intervalle [min(x,x₀), max(x,x_n)].

Or, par application répétée du théorème de Rolle, on peut facilement montrer que si une fonction de classe C ⁿ⁺¹ s'annule en au moins (n+2) points d'un intervalle I, alors sa dérivée (n+1)^ème s'annule en au moins un point de cet intervalle.

Il existe donc x Î [min(x,x₀), max(x,x_n)] tel que: g_x⁽ⁿ⁺¹⁾(x ) = 0. Insistons ici sur le fait que x n'est pas nécessairement unique et qu'il dépend de x.

Le calcul de g_x⁽ⁿ⁺¹⁾(t) est aisé:

En particulier, on a:

On en déduit que:

puis:

 Exemple : Soit f(x) = e^x . f est de classe C^¥ , et on a :

= e^b

et pour tout x Î [a, b]: |(x-x₀)(x-x₁)……(x-x_n)| £ (b - a)ⁿ⁺¹

et donc:

Ce qui montre la convergence uniforme de la suite (indexée par n) des polynômes P (qui dépendent de n) vers la fonction f.

Voir [2] page 10 et [2] exercice 1.1 pour prolongement.