INTERPOLATION de LAGRANGE

Meilleur choix des xi

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Problème 3 :

Etant donnés un intervalle fermé borné [a,b] de R, une fonction f définie sur [a,b] et un point x de [a,b], comment choisir au mieux n+1 points distincts x0 < x1 < ….< xn de [a,b] de façon à ce que la différence |f(x) - P(x)|, P désignant le polynôme d'interpolation de Lagrange de f, soit la plus petite possible.

Lecture préliminaire: polynômes de Tchebychev.

 

Nous avons vu que: si f est de classe Cn+1, alors pour x Î [a, b]:

Nous pouvons donc chercher à résoudre le problème plus simple (et moins ambitieux) suivant :

 

On désigne par En l'ensemble des polynômes normalisés de Rn[X].

Comment choisir au mieux n+1 points distincts x0 < x1 < ….< xn de [a,b] de façon à ce que, pour tout Q Î En+1 ,

 

Nous poursuivons en nous limitant à [a, b] =[-1, +1] (il est toujours possible de se ramener au cas de l' intervalle [-1, +1] par un changement de variable affine)

 

Théorème 3:

En choisissant les points xk de la forme:

pour k = 0, 1, ….., n

on a, pour tout Q Î En+1 :

Les points xk sont les zéros du polynôme de Tchebychev Tn+1.

 

Démonstration:

Soit G n le polynôme de Tchebychev normalisé :

.

Les zéros de G n sont les zéros de Tn.

Les zéros de G n+1 sont donc, pour k = 0, 1, ….., n, les points xk de la forme:

On a alors: G n+1 = (x - x0)(x - x1)……(x - xn).

On sait que, sur [-1, +1] , |Tn+1| atteint son maximum +1 aux (n+2) points x'k = cos(kp /(n+1)) pour k = 0, 1,……,(n+1).

|G n+1| atteint donc aussi, sur [-1, +1] , son maximum 1/2n en ces (n+2) points x'k = cos(kp /(n+1)):

En fait, G n+1 atteint alternativement les extrema: (-1)k/2n.

 

Supposons qu'il existe un polynôme Q de En+1 tel que:

Q et G n+1 étant tous deux normalisés, la différence Q - G n+1 est un polynôme de degré (n+1) -1 = n.

Les (n+2) quantités :

prennent alternativement des valeurs strictement négatives et strictement positives.

Q - G n+1 étant une fonction continue, admet donc au moins (n+1) zéros.

Q - G n+1, étant un polynôme de degré n, est donc le polynôme nul. Ainsi Q = G n+1. On a alors:

 ce qui paraît plutôt douteux.

Conclusion: pour tout Q Î En+1 :

CQFD.

Remarque: au passage nous avons montré le résultat suivant:

Proposition :

Si a0, a2, ….., an-1 désignent n réels, on a:

 

Essayez les programmes P1, P3 et P5 où le polynôme d'interpolation de Lagrange est construit avec la suite (xk) des (n+1) zéros du polynôme de Tchebychev Tn+1.