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La lumière d'une source monochromatique située à gauche du plan opaque (x0y) est diffractée par une ouverture située dans ce plan. On observe une image de diffraction sur un écran situé dans le plan (XOY) situé à une distance z du plan de l'ouverture. On désigne respectivement par l et par n la longueur d'onde et la fréquence de la source. On pose : |
U(x,y) désignant l'amplitude du champ en un point m(x,y) de l'ouverture, l'amplitude du champ V(X,Y) au point M(X,Y) est alors donné par l'expression:
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où:
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D'après le principe de Kirchhoff, U=0 en dehors de l'ouverture. |
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.
2- Approximation de Fresnel
On ne s'intéresse par la suite qu'à la partie de l'image diffractée située à proximité de l'axe des Z.
Ainsi le facteur 
est à peu près égal à 1.
Si bien que :
.
D'autre part, on pose:
.
On obtient pour h l'approximation dite de Fresnel:
.
V(X,Y) apparaît alors au facteur
près comme le produit
de convolution de U(x,y) et de 
:
En développant la partie quadratique de l'intégrale double, on obtient:
.
On reconnaît à un facteur près la transformée de Fourier de
.
Si la distance z du plan d'observation est grande relativement
aux dimensions de l'ouverture, c'est à dire si pour tout point m(x,y) de l'ouverture
on a 
, alors on peut
poser 
et l'expression de V(X,Y) devient:
.
On reconnaît à droite une intégrale qui est à un facteur près la transformée de Fourier de U(x,y).
On suppose maintenant que l'ouverture est un rectangle centré à l'origine et de dimensions respectives a et b suivant les axes (Ox) et (Oy). Si l'onde lumineuse est monochromatique, d'incidence normale au plan (xOy) et si son amplitude est uniformément égale à 1, alors U est égale à la transmittance en amplitude :
.
La transformée de Fourier de 
étant 
, on en déduit que :
.
L' intensité lumineuse I(X,Y) est alors donnée par:
.
Vous pouvez modifier le contraste(variable ctr ) et
l'intensité lumineuse(variable lumino).
Les variables a et b correspondent aux dimensions de l'ouverture.
Pour visualiser l'intensité lumineuse sur l'axe des x, supprimez les # du programme pour compiler les lignes suivantes:
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view([xmin,xmax],[-5,130]); axes; setcolor(0,255,255); plot({f2},[xmin,xmax]); |
Modifiez également la définition de la grille avec les variables gridx et gridy.
Pour des essais choisissez plutôt: gridx=gridy=4.
Si vous souhaitez visualiser en relief cette image de diffraction, sélectionnez le programme P1(en bas, à droite de la fenêtre du compilateur).
Je vous souhaite de belles diffractions!
Consdérons maintenant une ouverture circulaire de diamètre d.
L'intensité lumineuse sur l'écran de projection est donnée par la formule:
A l'aide du Copier/Coller, reportez le petit programme suivant dans la fenêtre d'édition du mini-compilateur ou sélectionnez le programme P2. Cliquez sur la touche Compile-Execute.
| Programme | Commentaires |
#----------------------------------------------------- # Diffraction de Fraunhofer - Ouverture circulaire - # # par Gérard Chevet le 12/02/98 # # Intruction densityplot en coordonnées polaires #----------------------------------------------------- var xmin,xmax,ymin,ymax,ctr,dec,lumino,d,z,k; var gridR,gridTeta,lambda; function bess1(var t,y1,y2); begin return(y2); end; function bess2(var t,y1,y2); begin if t=0 then return(0); else return(-(t*y2+(t*t-1)*y1)/t/t); end; function J1Bessel(var t); begin gctrace:=2; if t=0 then return(0); else if t < 0.7 then rgk({bess1,bess2},{1,2},{gc1,gc2},[gc0,t],0.0001,2); else rgk({bess1,bess2},{1,2},{gc1,gc2},[gc0,t],0.001,2); return(gc1); end; function Intens(var r); var it; begin if r<=0 then return(k*k*d*d*d*d/64/z/z); else it:=d*J1Bessel(k*d*r/2/z)/2/r; return(it*it); end; function IXY(var x,y); begin return(Intens(sqrt(x*x+y*y))); end; function IR(var r); begin return(IXY(x,0)); end; #------------------------------------------- # Programme principal begin lambda:=0.001; k:=2*pi/lambda; #Dimensions de l'écran de projection xmin:=-1;xmax:=-xmin; ymin:=xmin;ymax:=xmax; #-------- distance entre le trou et l'écran de projection ------------ z:=1.5; # ----------------Diamètre de l'ouverture circulaire d:=0.005; #----------------Règlages lumière -------------------- ctr:=0.42;# Règlage du contraste dec:=0;# Choix de la couleur d'affichage: 0=noir et blanc 7=bleu 6=rouge lumino:=20000;# Règlage de la luminosit #--------------------------------------------- #Définition de la grille : 1=très fin , 4=moyen gridR:=1; gridTeta:=2; # à 1 pour ôter l'effet de moire #--------------------------------------------- clear; view([xmin,xmax],[ymin,ymax]); #axes; #----------Variables gc pour initialiser le système diff de Bessel----------------- gc0:=0; gc1:=0; gc2:=0.5; writeln(d); densityplot({IXY},{gridR,gridTeta},[0,xmax*sqrt(2)],[0,2*Pi],ctr,dec,lumino,2); #------------------ Intensité lumineuse ------------------------------------------------------------------------ view([xmin,xmax],[-0.0002,0.0002]); axes; setcolor(0,0,255); gc0:=0; gc1:=0; gc2:=0.5; plot({IR},[0,xmax]); end...... |
La fonction J1 de Bessel est obtenue par la résolution d'une équation différentielle du second ordre:  avec n=1. On utilise,ici, une méthode de Runge-Kutta. L'intérêt de ce procédé est d'utiliser le calcul pas à pas de la méthode RGK et d'obtenir les valeurs de J1 pour des x croissants. A chaque appel de la procédure RGK, on transmet comme conditions initiales les résultats de l'appel précédent. |