Attracteurs
d'une
famille de contractions
Description sommaire du programme
Le plan euclidien étant muni du repère orthonormé (O,i,j), on désigne par C le carré de sommets (0,0),(0,1),(1,0),(1,1).
D'autre part,on désigne par:
- (Dk), k=0,1,...,7, les huit isométries du plan qui laissent C globalement invariant.
- h l'homothétie de rapport 1/2 et de centre O.
- Ti la translation de vecteur i.
- Tj la translation de vecteur j.
A l'aide du pavé numérique, on choisit 3 valeurs de k de {0,1,2,...,7}:
k1,k2,k3.
Le programme permet, en fixant le niveau n de récursivité, de visualiser le terme Cn de la suite définie par:
C0=C
Cn+1=(Dk1 ° h)(Cn) U (Ti ° Dk2 ° h)(Cn) U (Tj ° Dk3 ° h)(Cn)
En fixant le niveau n à 1, on peut retrouver la nature de chaque isométrie Dk: D0 est l'identité, D1 est la
rotation d'angle Pi/2,etc...
D'après le théorème de Hausdorff, cette suite converge au sens de la topologie définie par la distance de Hausdorff.
L'élément limite est un attracteur de la famille correspondant aux trois valeurs particulières de k:
(Dk1 ° h), (Ti ° Dk2 ° h), (Tk2 ° Dk3 ° h)
On peut ainsi visualiser 8*8*8=512 attracteurs(dont 456 seulement sont distincts) correspondant à 512 familles différentes.
Bibliographie
[1] Ferreol R.,Systèmes dynamiques,Les attracteurs de familles de contractions (Editions Archimède).
[2] Casiro F.,Systèmes dynamiques,Comment construire un fractal(Editions Archimède).
[3] Peitgen,Jurgens,Saupe,Fractals for the classroom,Springer-Verlag.
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