Les cinq polyèdres de Platon

(The five Platonic solids)

Définitions

Dans l'espace un plan délimite deux demi-espaces. Un polyèdre convexe est une région P, fermée et bornée de l'espace, qui est l'intersection d'un nombre fini de demi-espaces.
P est alors entièrement situé du même côté de chaque plan et est délimité par des surfaces polygonales qu'on appelle faces.
Les sommets et les côtés de chacune des faces sont appelés sommets et arêtes du Polyèdre P.
Pour la suite, nous désignerons par F le nombre de faces, S le nombre de sommets et A le nombre d'arêtes de P.

Un polyèdre convexe P est dit régulier si ses faces sont elles mêmes des polygones réguliers convexes, si ses faces sont égales et si de tout sommet sont issus le même nombre de côtés.

Solides de Platon

Un résultat étonnant est qu'il n'existe que 5 polyèdres convexes réguliers. Ce sont les cinq polyèdres (ou solides) de Platon:

le Tétraèdre, l'Octaèdre, le Cube, le Dodécaèdre et l'Icosaèdre.


Tétraèdre	Octaèdre	Cube	Dodécaèdre	Icosaèdre

Le tableau suivant résume les différentes caractéristiques de chacun des polyèdres de Platon:

POLYEDRE	Type des Faces	Nombre de faces F	Nombre de sommets S	Nombre d'arêtes A
Tétraèdre	Triangles équilatéraux	4	4	6
Octaèdre	Triangles équilatéraux	8	6	12
Cube	Carrés	6	8	12
Dodécaèdre	Pentagones	12	20	30
Icosaèdre	Triangles équilatéraux	20	12	30

Vous pouvez visualiser les cinq polyèdres de Platon à l'aide de MapleV en tapant le petit programme suivant:

> with(plottools):
> f:=dodecahedron([0,0,0],1);
> plots[display](f,style=patch);

....................

.............

On utilisera :

tetrahedron pour le tétraèdre,
octahedron pour l'octaèdre,
hexahedron pour le cube,
dodecahedron pour le dodécaèdre,
icosahedron pour l'icosaèdre.

Vous pouvez aussi utiliser l'Applet Java ci-dessous qui réalise une animation et propose aussi une observation en relief à l'aide d'une paire de lunettes que vous aurez confectionnée avec des transparents rouge(oeil gauche) et bleu(oeil droit).

Formule d'Euler

Si on dessine en perspective un polyèdre convexe vu d'un point assez proche du centre de l'une de ses faces, on observe toutes les autres faces à l'intérieur de celle-ci.
Le graphe ainsi obtenu est alors appelé un diagramme de Schlegel.
Voici, à titre d'exemple, des diagrammes de Schlegel pour les cinq polyèdres réguliers convexes de Platon:


Tétraèdre	Octaèdre	Cube	Dodécaèdre	Icosaèdre

Le diagramme de Schlegel d'un polyèdre convexe délimite un certain nombre de zones fermées qui correspondent chacune à une face. On retrouve ainsi toutes les faces exceptée la face de laquelle l'observateur s'était approché. On associe alors cette face à la partie extérieure du diagramme. Ainsi on obtient une bijection entre les faces du polyèdre et toutes les zones délimitées dans le plan par le diagramme.

Pour les polyèdres convexes et en particulier pour les solides de Platon (vérifiez le dans le tableau ci-dessus des caractéristiques géométriques), on a une relation étonnante entre les nombres F, S et A qu'on appelle formule d'Euler:

......................................................................... F + S - A = 2

Voici, à l'aide des diagrammes de Schlegel, une démonstration assez simple de cette formule.

Le diagramme de Schlegel de tout polyèdre convexe peut être construit pas à pas, ou plutôt côté par côté.
A chaque étape, tant qu'on n'a pas divisé une face en deux faces, le nombre de sommets S et le nombre d'arêtes A augmentent respectivement d'une unité, si bien que leur différence S - A est inchangée. Par contre, si une face est divisée en deux faces, le nombre de sommets est inchangé, le nombre d'arêtes augmente d'une unité et la différence F - A est inchangée.

	...................
F = 1 S = 2 A = 1 F + S - A = 2		S <-- S+1 A <-- A + 1 F = cste S - A = cste	F <-- F + 1 A <-- A + 1 S = cste F - A = cste
		F + S - A = cste
F + S - A = 2

Finalement, on voit qu'à chaque étape de construction du diagramme le nombre F + S - A est inchangé. Comme dans le cas d'un diagramme réduit à deux sommets et une arête, on a F + S - A = 1 + 2 -1 = 2, on en conclut qu'on a toujours : F + S - A = 2.

Montrons enfin qu'il n'existe que 5 polyèdres réguliers convexes.
Pour cela, introduisons le symbole de Schläfli d'un polyèdre régulier:
{p,q} où p est le nombre de côtés de chaque face polygonale et où q est le nombre de côtés issus de chaque sommet.

A titre d'exemple complétons le tableau des solides de Platon:

POLYEDRE	Type des Faces	F	S	A	Symbole de Schläfli
Tétraèdre	Triangles équilatéraux	4	4	6	{3,3}
Octaèdre	Triangles équilatéraux	8	6	12	{3,4}
Cube	Carrés .	6	8	12	{4,3}
Dodécaèdre	Pentagones .	12	20	30	{5,3}
Icosaèdre	Triangles équilatéraux	20	12	30	{3,5}

Pour un polyèdre régulier quelconque, on a donc les relations:

......................................................................... p.F = q.S = 2.A

On en déduit que: F/(1/p) =S/(1/q) = A/(1/2) = (F + S - A)/(1/q + 1/p - 1/2) = 2/(1/q + 1/p - 1/2)

D'où: F = 4q/(2p + 2q - pq), S = 4p/(2p + 2q - pq) et A = 2pq/(2p + 2q - pq).

Les nombres F, S et A étant des nombres entiers positifs, on a nécessairement: (2p + 2q - pq) > 0, soit (p - 2).(q - 2) < 4.

Il n'existe que cinq couples (p,q) d'entiers positifs satisfaisant cette relation: (3,3), (4,3), (3,4), (5,3) et (3,5) .

En conséquence, les polyèdres réguliers ne peuvent avoir pour symboles de Schläfli que:

............................................................ { 3, 3 }, { 4, 3 }, { 3, 4 }, { 5, 3 } et { 3, 5 }

Or, ces symboles sont ceux des cinq solides de Platon qui existent...puisque vous les voyez...

CONCLUSION :

Il n'existe que cinq polyèdres réguliers convexes :
ce sont les cinq solides de Platon.

Bibliographie

[1] Hermann WEYL. Symmetry, Princeton University Press.

[2] J.-M. Arnaudiès. Les cinq polyèdres réguliers de R³ et leurs groupes. Centre de Documentation Universitaire.

[3] H.S.M. COXETER. Regular Polytopes, Dover Publications

[4] Françoise PECAUT. Pavés et Bulles, Publications de l'A.P.M.E.P.

Pour tout renseignement: chevet@cict.fr

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